પૂર્ણ સંખ્યાઓ Class 6 Maths Notes
→ 1, 2, 3, 4… એ ગણતરીની સંખ્યાઓ છે. આ ગણતરીની સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4 … એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પણ કહેવાય છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં સૌથી પહેલી અને નાની સંખ્યા 1 છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અસંખ્ય – અનંત છે, તેથી સૌથી મોટી સંખ્યા નથી. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહને N સંકેત વડે દર્શાવાય છે. N = {1, 2, 3, 4 …}
→ પહેલાંની સંખ્યા અને પછીની. સંખ્યા (પૂર્વવર્તી અને પ્રતિવર્તી) પહેલાંની સંખ્યા આપેલ સંખ્યામાંથી 1 બાદ કરતાં તેની પહેલાંની સંખ્યા મળે. દા. ત., 9– 1 = 8. આથી 8 એ 9ની પહેલાંની સંખ્યા છે. પછીની સંખ્યા આપેલ સંખ્યામાં 1 ઉમેરતાં તેની પછીની સંખ્યા મળે.
દા. ત., 12 + 1 = 13. આથી 13 એ 12ની પછીની સંખ્યા છે.
→ પૂર્ણ સંખ્યાઓ (Whole Numbers) :
- 0 અને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ મળીને પૂર્ણ સંખ્યાઓ બને છે. એટલે કે 0, 1, 2, 3, 4 .. એ પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે. સૌથી પહેલી અને નાની પૂર્ણ સંખ્યા 0 છે. પૂર્ણ સંખ્યાઓ અનંત (અસંખ્ય) છે. તેથી સૌથી મોટી સંખ્યા નથી.
- પૂર્ણ સંખ્યાઓના સમૂહને w સંકેત વડે દર્શાવાય છે. W = {0, 1, 2, 3, 4, .}
- બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એ પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે, પણ બધી પૂર્ણ સંખ્યાઓ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ નથી, કારણ કે પૂર્ણ સંખ્યામાં વે છે જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં નથી.
→ સંખ્યારેખા (Number Line) :
- સંખ્યારેખા પરની કોઈ પણ બે પૂર્ણ સંખ્યાઓ પૈકી જે પૂર્ણ સંખ્યા ડાબી બાજુએ આવેલી હોય તે પૂર્ણ સંખ્યા તે બે સંખ્યામાં નાની હોય.
- સંખ્યારેખા પરની કોઈ પણ બે પૂર્ણ સંખ્યાઓ પૈકી જે પૂર્ણ સંખ્યા જમણી બાજુએ આવેલી હોય તે પૂર્ણ સંખ્યા તે બે સંખ્યામાં મોટી હોય.
- 0 એ નાનામાં નાની પૂર્ણ સંખ્યા હોવાથી સંખ્યારેખા ઉપર શૂન્યની ડાબી બાજુએ કોઈ પણ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
→ પૂર્ણ સંખ્યાઓના સરવાળા વિશેના ગુણધર્મો :
(1) સંવૃત્તતાઃ કોઈ પણ બે પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સરવાળો પૂર્ણ સંખ્યા જ મળે છે.
દા. ત., 3+ 4 = 7 અને 7 એ પૂર્ણ સંખ્યા જ છે.(
(2) ક્રમનો નિયમઃ કોઈ પણ બે પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સરવાળો ગમે તે ક્રમમાં કરવામાં આવે તોપણ પરિણામ સરખું જ મળે છે.
દા. ત., 3 + 4 = 7 અને 4 + 3 = 7. આમ, 3 + 4 = 4 + 3
(3) જૂથનો નિયમઃ ત્રણ પૂર્ણ સંખ્યાઓના સરવાળા માટે ગમે તે બે સંખ્યાઓનું જૂથ બનાવી તેના સરવાળામાં ત્રીજી સંખ્યા ઉમેરતાં પરિણામ સરખું જ મળે છે.
દા. ત., 3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12,
3 + 4 + 5) = 3 + 9 = 12,
(3 + 5) + 4 = 8 + 4 = 12
આમ, (3 + 4) + 5 = 3 + 4 + 5) = (3 + 5) + 4
(4) શૂન્ય એ સરવાળાની તટસ્થ સંખ્યા કોઈ પણ પૂર્ણ સંખ્યાનો છે સાથે સરવાળો કરતાં પરિણામ તેની તે જ સંખ્યા મળે. તેથી 0 એ સરવાળા માટે તટસ્થ સંખ્યા છે.
દા. ત., 5 + 0 = 5 અને 0 + 6 = 6
→ પૂર્ણ સંખ્યાઓના ગુણાકાર વિશેના ગુણધર્મો :
(1) સંવૃત્તતાઃ કોઈ પણ બે પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર પૂર્ણ સંખ્યા જ મળે છે.
દા. ત., 3 × 4 = 12 અને 12 એ પૂર્ણ સંખ્યા જ છે.
(2) ક્રમનો નિયમઃ કોઈ પણ બે પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર ગમે તે ક્રમમાં કરવામાં આવે, તોપણ પરિણામ સરખું જ મળે છે.
દા. ત., 3 4 = 12 અને 4 × 3 = 12, આમ, 3 × 4 = 4 × 3
(3) જૂથનો નિયમ: ત્રણ પૂર્ણ સંખ્યાઓના ગુણાકાર માટે ગમે તે બે સંખ્યાઓનું જૂથ બનાવી તેના ગુણાકાર સાથે ત્રીજી સંખ્યાનો ગુણાકાર કરતાં પરિણામ સરખું જ મળે છે.
દા. ત., (3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60,
3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60,
(3 × 5) × 4 = 15 × 4 = 60
આમ, (3 × 40 × 5 = 3 × (4 × 5) = (3 × 5) × 4
(4) 1 એ ગુણાકારની તટસ્થ સંખ્યાઃ કોઈ પણ પૂર્ણ સંખ્યાનો 1 સાથે ગુણાકાર કરતાં પરિણામ તેની તે જ સંખ્યા મળે છે. તેથી 1 એ ગુણાકાર માટેની તટસ્થ સંખ્યા છે.
દા. ત., 3 × 1 = 3, 1 × 4 = 4
(5) વિભાજનનો નિયમઃ પૂર્ણ સંખ્યાઓ માટે ગુણાકારનું સરવાળા પર
વિભાજન : 5 × (3 + 4) = 5 × 7 = 35
(5 × 3) + 5 × 4) = 15 + 20 = 35
આમ, 5 × (3 + 4) = (5 × 3) + (5 × 4).
